Dạng tổng quát của phương trình bậc 2

Chào các em học sinh thân yêu! 👋 Phương trình bậc 2 là một trong những kiến thức quan trọng trong chương trình toán đại số bậc trung học cơ sở. Tuy nhiên, nhiều bạn học sinh gặp khó khăn vì chưa hiểu rõ kiến thức cũng như cách giải phương trình bậc 2. Trong bài viết dưới đây, Thầy cô sẽ chia sẻ chi tiết về điểm kiến thức này cùng các cách giải phương trình bậc 2 đơn giản nhất.  Mời các em cùng tiếp tục theo dỏi bài học dưới đây!

Phương trình bậc 2 là gì ?

Phương trình bậc 2 là loại phương trình toán học bao gồm một hằng số và một biến số với số mũ là 2. Thể hiện mối liên hệ giữa các biến số trong nhiều lĩnh vực như kỹ thuật, kinh tế, vật lý,… Đồng thời, dạng phương trình này cũng được xem là công cụ quan trọng trong các nghiên cứu về những hàm số, định lý tam giác vuông, đường cong hình chữ U và nhiều khái niệm toán học phổ biến khác.

Phương trình bậc 2 có dạng ax²+bx+c=0 (a≠0) (1).

Giải phương trình bậc 2 là đi tìm các giá trị của x sao cho khi thay x vào phương trình (1) thì thỏa mãn ax²+bx+c=0.

Trong Thực tế, phương trình bậc 2 được ứng dụng rất nhiều vào cuộc sống thường ngày. Cho phép bạn dễ dàng tính toán chi phí, lợi nhuận kinh doanh, diện tích xây nhà hay thể tích bể nước,… Vì vậy, đây được xem là điểm kiến thức quan trọng. Đặc biệt là các bạn học sinh cần nắm rõ cách giải  để có thể vận dụng trong việc giải đề toán.

Phương pháp giải phương trình bậc 2 đơn giản nhất

Cách giải khá đa dạng với những phương pháp phổ biến như: áp dụng công thức nghiệm, nhẩm nghiệm theo định lý Vi–et hay vẽ đồ thị Parabol. Trong đó, mỗi phương pháp sẽ được áp dụng cho từng trường hợp khác nhau, cụ thể:

Tổng hợp một số cách giải dễ áp dụng

Dùng công thức nghiệm để tính phương trình bậc 2

Sử dụng công thức nghiệm là một trong những cách giải cơ bản và dễ áp dụng nhất. Cụ thể, công thức này phụ thuộc vào những hằng số a, b và c trong phương trình có dạng như sau: x = (−b ± √(b^2 – 4ac))/(2a). Để có thể ghi nhớ công thức này thì có 2 cách đơn giản mà bạn có thể áp dụng sau đây:

• Ghi nhớ từng ký tự có trong công thức và hiểu được mối liên hệ giữa chúng.
• Ghi nhớ bằng câu thơ có vần điệu “Bé bỏ đi, bình phương trừ bốn a cộng, hai a chia, căn bậc 2 cộng trừ” theo thứ tự đề cập các ký hiệu trong công thức như sau: bỏ dấu trừ, tính bình phương của b, trừ đi 4ac và chia cho 2a, cuối cùng tính căn bậc 2 và cộng/trừ.

Giải phương trình bậc 2 bằng công thức tính nghiệm

 

Xem xét các trường hợp đặc biệt khi giải phương trình bậc 2

Khi giải học sinh cũng cần xem xét những trường hợp phương trình đặc biệt để có cách giải phù hợp. Dưới đây là một trường hợp giải phương trình bậc 2 thường gặp như:

• Phương trình bậc 2 vô nghiệm: Trường hợp này xảy ra a nhỏ hơn giá trị tuyệt đối của c và các hệ số a, b, c đều có cùng dấu. Ví dụ: x2+3x+5=0, trong đó a, b, c đều là số dương kết hợp với điều kiện ∣a∣<∣c∣ (3 <5), điều này dẫn đến phương trình không có nghiệm.
• Phương trình bậc 2 vô số nghiệm: Trường hợp này xảy ra khi 0x2+0x+0=0, nghĩa là các hệ số a, b và c đều bằng 0.
• Phương trình bậc 2 nghiệm kép: Trường hợp này xảy ra khi những hệ số a, b và c thỏa mãn một trong các điều kiện: a+b+c=0 hoặc a-b+c=0.

Dùng đồ thị để giải phương trình

Cách tính phương trình bậc 2 dùng đồ thị là phương pháp áp dụng vẽ đồ thị hàm số y=ax^2+bx+c. Trong đó a, b và c là những hệ số được cho trước. Hình dạng đồ thị là đường cong chữ U Parabol. Với phương pháp này, học sinh sẽ có được cái nhìn tổng quát về bản chất của phương trình bậc 2. Khả năng so sánh cũng như phân tích được những trường hợp có nghiệm, vô nghiệm hay nghiệm kép. Tuy nhiên, nếu vẽ đồ thị không chính xác thì sẽ khó xác định được nghiệm đúng. Để vẽ đồ thị Parabol chuẩn, bạn cần chú ý một số yếu tố quan trọng sau:

• Hướng mở, độ dốc, tâm đối xứng và giao điểm giữa các trục tọa độ.
• Các giao điểm trục hoành trên đồ thị là những giá trị của x cần thỏa mãn phương trình y=0 hoặc các nghiệm của phương trình.

Áp dụng phương pháp vẽ đồ thị giải phương trình bậc 2 có chứa tham số

Phương pháp nhẩm nghiệm

Cách nhẩm nghiệm là phương pháp áp dụng định lý Vi-et. Cho phép nhẩm nhanh được số nghiệm chính xác mà không cần sử dụng công thức đối với những phương trình đặc biệt. Dưới đây là một số trường hợp có thể áp dụng cách nhẩm nghiệm như sau:

• Dạng phương trình ax^2 + bx + c = 0 (trong đó: a+b+c=0), sẽ có nghiệm x1=1, x2=c/a.
• Dạng phương trình ax^2 + bx + c = 0 (trong đó: a–b+c=0), sẽ có nghiệm x1= – 1, x2= –c/a.
• Dạng phương trình ax^2 + (a + b)x + b = 0, sẽ có nghiệm x1= –1, x2= –b/a.
• Dạng phương trình x^2 + px + q = 0 (trong đó: p, q là những số nguyên và q chia hết cho p), sẽ có nghiệm x1= –p, x2= –q/p.

Phương pháp giải phương trình có tham số

Đối với trường hợp phương trình chứa tham số. Học sinh có thể áp dụng công thức tính nghiệm theo các bước sau:

• Bước 1: Xác định các hằng số a, b và c trong phương trình. Trong đó: a là hệ số tại x2, b là hệ số tại x và c là hằng số tự do. Nếu phương trình bậc 2 không có một trong ba số này thì có thể coi hằng số là 0.
• Bước 2: Thay các hằng số vào công thức tính nghiệm x = (−b ± √(b^2 – 4ac))/(2a) và tính trước phần giá trị biệt thức delta (Δ ) nằm bên trong căn bậc hai của công thức, cụ thể biệt thức delta Δ= b^2 – 4ac.
• Bước 3: Dựa trên giá trị biệt thức delta tính được để xác định số nghiệm phương trình bậc 2.

• Nếu Δ>0, thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
• Nếu Δ=0, thì phương trình có nghiệm kép.
• Nếu Δ<0, thì phương trình vô nghiệm.
• Nếu Δ là số âm thì không thể lấy được căn bậc hai, đồng nghĩa với việc không có nghiệm thực.
• Bước 4: Thay giá trị biệt thức vào công thức x = (−b ± √(b^2 – 4ac))/(2a) để tính giá trị nghiệm và làm tròn kết quả (nếu cần).

Một số bài tập mẫu

Dạng 1: Giải phương trình có một ẩn không dùng công thức nghiệm

Đề 1: Giải các phương trình sau:

1. a) 4x^2 + 9x = 0
2. b) 9x^2 – 25 = 0
3. c) x2 + x – 6 = 0

Lời giải:

1. a) Sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung biến đổi phương trình về dạng phương trình tích.

4x^2 + 9x = 0 => x(4x + 9) = 0 => x∈{-9/4;0}.

1. b) Cách 1:Sử dụng hằng đẳng thức biến đổi phương trình bậc 2 về phương trình tích.

9x^2 – 25 = 0 => (3x – 5)(3x + 5) = 0 => x∈{-5/3;5/3}.

Cách 2: Đưa phương trình bậc 2 về dạng [f(x)]2 = [g(x)]2.

9x^2 – 25 = 0 => 9x^2 = 25 => 3x = ±5 => x = ±5/3.

1. c) Sử dụng phương pháp tách ghép đưa phương trình bậc 2 về dạng phương trình tích.

x^2 + x – 6 = 0 => x^2 – 2x + 3x – 6 = 0 => (x − 2)(x + 3) = 0 => x = 2 và x = -3.

Đề 2: Tìm giá trị m để phương trình 3x + m2x − 2m = 0 nhận x = –2 là nghiệm.

Lời giải:

Phương trình nhận x = −2 là nghiệm => 3.(−2)^2 + m^2.(−2) – 2m = 0 ⇔ m^2 + m – 6 = 0 ⇔ (m − 2)(m + 3) = 0 => m = 2 và m = –3.

Dạng 2: Giải phương trình bậc 2 có một ẩn bằng công thức nghiệm và công thức nghiệm thu gọn

Đề: Dùng công thức nghiệm để giải các phương trình sau.

1. a) x^2 – 3x + 4 = 0
2. b) 2x^2 – 9x – 56 = 0

Lời giải:

4. a) Ta có: Δ = 3^2 – 4.1.4 = –7 < 0 => phương trình vô nghiệm.
5. b) Ta có:Δ = 529 => √Δ = 23 => phương trình có hai nghiệm:

x1 = (9 – 23)/4 = -7/2; x2 = (9 + 23)/4 = 8.

Dạng 3: Giải và biện luận phương trình bậc 2

Đề: Giải và biện luận các phương trình sau:

1. a) x^2 + x – m = 0
2. b) 3x^2 – mx + m^2 = 0

Lời giải:

1. a)Ta có:Δ = 1 + 4m.

Trường hợp 1: Δ < 0 => 1 + 4m < 0 => m < –1/4 thì phương trình vô nghiệm.

Trường hợp 2: Δ = 0 => m = –1/4 thì phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = –1/2.

Trường hợp 3: Δ > 0 => m > –1/4 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

x1 = (( –1 – √(1 + 4m))/2; x2 = ((-1 + √(1 + 4m))/2

Vậy m < –1/4 thì phương trình vô nghiệm.

m = –1/4 thì phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = -1/2.

m > –1/4 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 = ((-1 – √(1 + 4m))/2; x2 = ((-1 + √(1 + 4m))/2.

4. b) Ta có: Δ = ( –m)^2 – 4.3.m^2 = m^2 – 12m^2 = –11m^2 ≤ 0 với mọi m.

Trường hợp 1: Δ= 0 => –11m^2 = 0 => m = 0  => phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = 0.

Trường hợp 2: Δ < 0 => –11m^2 < 0 => m≠0 => phương trình vô nghiệm.

 

 

Lời Kết

Trên đây là tổng hợp một số phương pháp giải phương trình bậc 2 đơn giản, dễ áp dụng cùng một số dạng bài tập giải phương trình. Hy vọng những chia sẻ này sẽ hữu ích với các bạn học sinh đang học các kiến thức toán học liên quan đến giải phương trình bậc 2.

Cùng đọc thêm các bài viết khác của Thanh phương Book để có thêm nhiều bài học bổ ích nhé.

Nếu cần tư vấn thêm nội dung gì về toán học hoặc có nhu cầu mua sách Toán. Hãy liên hệ ngay với Thanh Phương Book qua hotline 0908 650 779 để được tư vấn và hỗ trợ tận tình.

Hoặc bạn có thể ghé thăm trực tiếp cửa hàng của Thanh Phương Book tại địa chỉ số 15 Trần Văn Xã, Trảng Dài, Thành phố Biên Hòa, Đồng Nai.