Đạo Hàm là gì ? đạo hàm được định nghĩa như thế nào

Chào các bạn! Trong bài học trước chúng ta đã tìm hiểu bài học hàm số mũ  là gì. Hôm nay tiếp tục đến với bài học về đạo hàm là gì nhé. Đạo hàm là một trong những công thức toán học nền tảng trong chương trình giáo dục phổ thông. Theo đó, việc nắm vững kiến thức đạo hàm sẽ giúp các bạn học sinh tự tin chinh phục các dạng bài tập hiệu quả. Trong bài viết này, hãy cùng Thầy/Cô tìm hiểu các quy tắc và cách giải bài tập đạo hàm lượng giác phổ biến một cách hiệu quả nhất.

Định nghĩa đạo hàm là gì?

Trong Toán học, Đạo hàm là một hàm mô tả sự biến thiên tại một điểm, hay tỷ số giữa số gia và hàm số tại 1 điểm x0 trong toán học. Độ lớn của biến thể và hướng của biến thể đại diện cho giá trị của đạo hàm.

Theo 1 định nghĩa khác đạo hàm được hiểu là sự biến thiên lên xuống của hàm số tại điểm thay đổi. Ngoài ra, đạo hàm còn được coi là vận tốc tức thời khi một vật đang chuyển động trong vật lý.

Ký hiệu đạo hàm: Đạo hàm của hàm y=f(x) được ký hiệu là f′(x0) hoặc y′(x0). Cụ thể:

Trong đó:

• Số gia của đối số là Δx=x−x0
• Số gia của hàm là Δy=y−y0

Ý nghĩa của đạo hàm là gì ?

Đạo hàm có ý nghĩa quan trọng trong Toán học và Vật lý, cụ thể:

Trong Toán học

Ý nghĩa của đạo hàm trong hình học của Toán học lớp 11: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;b) và có đạo hàm tại , gọi (C) là đồ thị của hàm số đó.

Trong Vật lý học

Ý nghĩa của đạo hàm là vận tốc tức thời khi 1 vật đang chuyển động. Nếu chuyển động tuyến tính được xác định bởi phương trình: s = f(t), trong đó f(t) là hàm có đạo hàm thì vận tốc tức thời xác định tại thời điểm t0 là đạo hàm s = f(t) tại t0

Quy tắc đạo hàm cần nhớ khi áp dụng công thức

Khi áp dụng công thức đạo hàm để tính toán và giải các bài tập toán học một cách chính xác và nhanh chóng, bạn cần lưu ý quy tắc cơ bản sau:

• Bước 1: Giả sử Δx là gia số của x tại x0, thì lúc này ta tính Δy = f(x₀ + Δx) – f(x₀).
• Bước 2: Lập tỉ số giữa ΔyΔx.
• Bước 3: Tính giới hạn của ΔyΔx khi Δx0ΔyΔx.

Tuy nhiên, bạn cần lưu ý nếu thay x₀ với x thì ta có quy tắc tính của hàm số y = f(x) với x ∈ (a;b).

Các công thức tính đạo hàm là gì ?

Công thức đạo hàm đầy đủ nhất được cập nhật bao gồm: đạo hàm cơ bản, đạo hàm lượng giác, đạo hàm logarit và đạo hàm cấp cao

Công thức đạo hàm cơ bản

Các công thức đạo hàm cơ bản bao gồm:

• Đạo hàm của f(x) (x là biến)
• Đạo hàm của f(u) (u là một hàm số)
• Đạo hàm của phân số hữu tỉ

Công thức đạo hàm lượng giác

Công thức đạo hàm logarit

Công thức đạo hàm cấp cao

Bảng đạo hàm và nguyên hàm

• Bảng công thức đạo hàm:

• Bảng công thức nguyên hàm:

Mối quan hệ giữa tính liên tục và sự tồn tại của đạo hàm trong toán học

Nếu hàm số có dạng y = f(x) có đạo hàm x₀ thì nó sẽ liên tục tại x₀, để chứng minh điều này ta xét hàm số y = f(x) = |x|. Tại điểm x₀ = 0 ta có f(0) = 0 và x0f(x)=x0f|x|=0. Như vậy, hàm số đã liên tục tại điểm x = 0.

Bên cạnh đó, ta có:

•  Δy= f(x_{0+Δx)-f(0) =}|Δx| =>ΔyΔx=|Δx|Δx
• ΔyΔx= {1 khi _{Δx > 0} -1 khi _{Δx < 0}

Do đó, Δx0+ΔyΔx=1 và Δx0-ΔyΔx=-1 => Δx0ΔyΔx không tồn tại. Hàm số y = |x| không có đạo hàm tại x₀ = 0.

 

dạng bài tập đạo hàm

Dạng 1: Dạng toán cơ bản Tính đạo hàm bằng định nghĩa

Trong các bài tập đạo hàm thì dạng toán cơ bản áp dụng khái niệm và định nghĩa là đơn giản nhất. Phương pháp giải các bài tập này vận dụng định nghĩa, các công thức cơ bản để tính toán

Dạng bài tập 2: Chứng minh các đẳng thức liên quan tới đạo hàm

Với dạng bài này, các bạn được yêu cầu chứng minh các đẳng thức liên quan tới đạo hàm dựa trên những điều kiện có sẵn. Theo đó, để giải dạng toán này, các em cần tính toán các hệ thức liên quan sao cho chính xác và đưa ra kết quả.

Dạng bài tập 3: Viết phương trình tiếp tuyến khi được cho trước tiếp điểm

Đây cũng là một trong số các bài tập áp dụng công thức đạo hàm phổ biến. Với dạng bài này, đề bài thường sẽ đưa ra một phương trình tiếp tuyến của một đồ thị đường cong (C) có dạng: y = f(x), với một tiếp điểm M(x₀;y₀) cho sẵn có dạng y = y’(x₀)(x – x₀) + y₀. Cuối cùng, bạn chỉ cần thêm những dữ kiện được đề bài cho để tìm ra đáp án.

Dạng bài tập 4: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc

Dạng đề bài này thường là viết phương trình tiếp tuyến Δ của (C ): y = f(x), biết Δ có hệ số góc k cho trước. Gọi điểm M(x₀;y₀) là tiếp điểm. Tính y’ => y'(x₀). Theo đó, phương trình tiếp tuyến Δ có hệ số góc k => y’ = (x₀) = k(i) và x₀=> y₀ = f(x₀) => phương trình tiếp tuyến Δ có dạng y = k (x – x₀)+ y₀.

Dạng bài tập 5: Phương trình và bất phương trình có đạo hàm

Dạng bài tập phương trình, bất phương trình có đạo hàm cần bạn áp dụng kết hợp nhiều công thức đạo hàm và nguyên hàm khác nhau để có thể giải phương trình/bất phương trình mới tìm được kết quả chính xác.

Dạng bài tập 6: Dùng công thức đạo hàm, nguyên hàm

Đây là dạng bài đòi hỏi các bạn học sinh vừa phải nắm chắc các công thức tính đạo hàm. Vừa phải hiểu bản chất của chúng. Với những đề bài có hàm số phức tạp. Hãy tiến hành rút gọn hàm số trước rồi mới áp dụng công thức đạo hàm ln, nhất là những bài tập liên quan đến lượng giác.

Dạng bài tập 7: Tính đạo hàm cấp cao

Dạng toán này đòi hỏi học sinh tính đạo hàm cấp 2 nên các bạn có thể áp dụng các công thức đạo hàm cấp cao hoặc sử dụng y(n) = (y(n – 1))’. Ngoài ra, để tính đạo hàm cấp n, bạn cần phải tính lần lượt đạo hàm cấp 1, 2, 3 rồi mới suy luận ra công thức đạo hàm cấp n.

Kết Luận

Thanh Phương Book hy vọng rằng, với những chia sẻ về Đạo hàm là gì? Công thức và bài tập áp dụng đã  giải đáp và củng cố một phần kiến thức hữu ích cho các em. Mong trong những bài viết tới, Thanh Phương Book sẽ được tiếp tục đồng hành cùng các bạn. Nếu cần tư vấn thêm nội dung gì về toán học hoặc có nhu cầu mua sách Toán. Hãy liên hệ ngay với Thanh Phương Book qua hotline 0908 650 779 để được tư vấn và hỗ trợ tận tình. Hoặc bạn có thể ghé thăm trực tiếp cửa hàng của Thanh Phương Book tại địa chỉ số 15 Trần Văn Xã, Trảng Dài, Thành phố Biên Hòa, Đồng Nai.