Định nghĩa Giới hạn của hàm số là gì

Chào các em học học sinh!. Hôm trước chúng ta đã cùng tìm hiểu giải tích và tích phân. Hôm nay chúng ta lại tiếp tục bài học về Giới hạn hàm số. Giới hạn của hàm số là một khái niệm cơ bản trong toán học, đặc biệt là trong phân tích và giải tích. Đây là phần kiến thức quan trọng trong chương trình Toán 11 và là dạng bài thường xuyên xuất hiện trong các đề kiểm tra. Bài viết dưới đây sẽ giúp các em tổng hợp lý thuyết các công thức tính giới hạn hàm số cùng các bài tập vận dụng và lời giải chi tiết kể từ đó ôn tập hiệu quả nhé

Lý thuyết giới hạn của hàm số

Giới hạn hàm số là gì

Khái niệm giới hạn được sử dụng trong Toán học để chỉ giá trị khi biến của một hàm số hoặc một dãy số khi tiến dần tới một giá trị xác định

Giới hạn của hàm số là khái niệm cơ bản trong lĩnh vực giải tích và tích phân đây là khái niệm có liên quan mật thiết đến hàm số khi có biến tới một giá trị xác định nào đó

Giới hạn của một hàm số f(x) khi x tiến đến một giá trị a được ký hiệu là: lim x→a​f(x)

và nó có nghĩa là:

Khi x ngày càng gần a, giá trị của f(x) ngày càng gần một số cụ thể L, thì L được gọi là giới hạn của f(x) khi x tiến đến a

Cụ thể, nếu với mọi số dương ϵ, có thể tìm được một số dương δ sao cho khi 0<∣x−a∣<δ, thì ∣f(x)−L∣<ϵ, thì ta nói rằng giới hạn của f(x) khi x tiến đến a là L.

Ví dụ

Giới hạn của hàm số tại một điểm

Giới hạn hữu hạn:

Cho khoảng K chứa điểm x0 . Ta nói rằng hàm số f(x) xác định trên K (có thể trừ điểm x0) có giới hạn là L khi x dần tới x0 nếu với dãy số (xn) bất kì, xn ∈ K \ {x0}  và xn → x0, ta có: f(xn) → L.

Kí hiệu:  Lim f(x) = L hay f(x) → L khi x → x0.

x → x0

Nhận xét: Nếu f(x) là hàm số sơ cấp xác định tại x0 thì

Lim f(x) = L hay f(x) → L khi x → x0.

x → x0

Giới hạn ra vô cực: 

Hàm số y = f(x) có giới hạn dần tới dương vô cực khi x dần tới x0 nếu với mọi dãy số (xn): xn → x0 thì f(xn) → +∞.

Kí hiệu:

Lim f(x) = + ∞.

 x → x0

Hàm số y = f(x)  có giới hạn dần tới âm vô cực khi x dần tới x0 nếu với mọi dãy số (xn): xn → x0 thì f(xn) → −∞.

Kí hiệu:

Lim f(x) = – ∞.

 x → x0

Giới hạn của hàm số tại Vô Cực

Giới hạn ra hữu hạn:

– Ta nói hàm số y = f(x) xác định trên (a;+∞) có giới hạn là L khi x → +∞ nếu với mọi dãy số (xn): xn > a và xn → +∞  thì f(xn) → L.

Kí hiệu: 

Lim f(x) = L .

 x → +∞

Ta nói hàm số y = f(x) xác định trên (−∞;b) có giới hạn là L khi x → −∞ nếu với mọi dãy số (xn): xn < b và xn → −∞ thì f(xn) → L.

Kí hiệu: 

Lim f(x) = L .

 x → – ∞

Giới hạn ra vô cực:

– Ta nói hàm số y = f(x)  xác định trên (a;+∞) có giới hạn dần tới dương vô cùng (hoặc âm vô cùng) khi x → +∞ nếu với mọi dãy số (xn): xn > a và xn → +∞ thì f(xn) → +∞ (hoặc f(xn) → −∞).

Kí hiệu: 

Lim f(x) = + ∞.  Hoặc Lim f(x) = – ∞

 x → + ∞                              x → + ∞

– Ta nói hàm số y = f(x)  xác định trên (−∞; b)  có giới hạn là dần tới dương vô cùng (hoặc âm vô cùng) khi x → −∞ nếu với mọi dãy số (xn): xn < b và xn → −∞ thì f(xn) → +∞ (hoặc f(xn) → −∞).

Kí hiệu: 

Lim f(x) = + ∞.  Hoặc Lim f(x) = – ∞

 x → – ∞                              x → – ∞

 

Các định lý về giới hạn của hàm số

Định lí 1

Định lý 2:

Một số giới hạn đặc biệt của hàm số

Các dạng toán tính giới hạn của hàm số 

Tìm giới hạn xác định bằng cách sử dụng định nghĩa

Phương pháp giải : chuyển giới hạn của hàm số và giới hạn của dãy số để tính

Ví dụ tìm giới hạn của các hàm số sau đây bằng định nghĩa

Lời giải:

Tìm giới hạn của hàm số dạng 0 /0

Giới hạn dạng vô định :  0/0

Nhận biết dạng vô định 0/0 : Tính Lim f(x)/g(x) (x ->x0),  trong đó f(x0) = g(x0) = 0.

Phương pháp giải:

Để khử dạng vô định này ta phân tích f(x) và g(x) sao cho xuất hiện nhân tử chung là (x – x0)

Định lí: Nếu đa thức f(x) có nghiệm x = x0 thì ta có: f(x) = (x – x0)f1(x).

* Nếu f(x) và g(x) là các đa thức thì ta phân tích f(x) = (x – x0)f1(x) và g(x) = (x – x0)g1(x).

Khi đó Lim f(x)/g(x) ( x → x0) =Lim f1(x)/g1(x) ( x → x0), nếu giới hạn này có dạng  thì ta tiếp tục quá trình như trên.

Chú ý: Nếu tam thức bậc hai ax2 + bx + c có hai nghiệm x1 ; x2 thì ta luôn có sự phân tích: ax2 + bx + c = a(x – x1) (x – x2)

* Nếu f(x) và g(x) là các hàm chứa căn thức thì ta nhân lượng liên hợp để chuyển về các đa thức, rồi phân tích các đa thức như trên.

Các lượng liên hợp:

* Nếu f(x) và g(x) là các hàm chứa căn thức không đồng bậc ta sử dụng phương pháp tách, chẳng hạn:

Nếu n√u(x), m√v(x)->c thì ta phân tích:  n√u(x) – m√v(x)=(n√u(x)-c) – (m√v(x) – c)

Ví dụ minh họa.Tính các giới hạn sau:

 

 

 

 

Lời giải

 

 

 

 

Tìm Giới hạn dạng vô định ∞/∞

Nhận biết dạng vô định ∞/∞

 

 

 

 

Phương pháp giải:

– Chia tử và mẫu cho xn với n là số mũ cao nhất của biến ở mẫu (Hoặc phân tích thành tích chứa nhân tử xn rồi giản ước).

– Nếu u(x) hoặc v(x) có chứa biến x trong dấu căn thì đưa xk ra ngoài dấu căn (Với k là mũ cao nhất của biến x trong dấu căn), sau đó chia tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất của x.

Ví dụ : Tính các giới hạn sau:

 

 

 

 

 

Lời giải

 

 

Tìm Giới hạn dạng vô định ∞ − ∞ và 0.∞ 

Phương pháp giải:

– Nếu biểu thức chứa biến số dưới dấu căn thì nhân và chia với biểu thức liên hợp

– Nếu biểu thức chứa nhiều phân thức thì quy đồng mẫu và đưa về cùng một biểu thức

Ví dụ: tính các giới hạn sau:

LỜI KẾT

Trên đây là toàn bộ lý thuyết giới hạn của hàm số.  Hy vọng các em đã nắm được định nghĩa các định lý giới hạn đặc biệt cũng như nắm được các dạng bài tập cùng cách tìm giới hạn của hàm số.Cùng đọc thêm các bài viết khác của Thanh phương Book để có thêm nhiều bài học bổ ích nhé. Nếu cần tư vấn thêm nội dung gì về toán học hoặc có nhu cầu mua sách Toán.Hãy liên hệ ngay với Thanh Phương Book qua hotline 0908 650 779 để được tư vấn và hỗ trợ tận tình. Hoặc bạn có thể ghé thăm trực tiếp cửa hàng của Thanh Phương Book tại địa chỉ số 15 Trần Văn Xã, Trảng Dài, Thành phố Biên Hòa, Đồng Nai.