Số Phức Là Gì ? Các Tính Chất Của Số Phức

Chào các em học sinh thân yêu! 👋 Khi học Toán ở cấp II, chúng ta chỉ biết rằng Bình phương của một số luôn là một số không âm. Nhưng khi tiếp cận về Số Phức thì khái niệm đó không còn đúng nữa bởi bình phương của Số Phức là một số âm. Tại sao lại có sự mâu thuẫn như vậy khiến các em học sinh khó hiểu và dễ bị nhầm lẫn? Không phải tự nhiên các Nhà toán học lại nghiên cứu về số Phức, mọi thứ đều có nguyên do của nó. Vậy hôm nay mời các bạn cùng Thanh Phương Book tìm hiểu về số phức là gì, ứng dụng của số phức trong môn Toán và đời sống nhé ?  Trong bài viết này.  Mời các em cùng tiếp tục theo dỏi bài học dưới đây!

Khái niệm số phức là gì?

Định nghĩa:

Số phức là một khái niệm quan trọng trong toán học và kỹ thuật, đặc biệt là trong lĩnh vực đại số và phân tích số. Nó mở rộng khái niệm số thực và cho phép giải quyết các bài toán mà số thực không thể giải quyết được.

Số phức (dạng đại số) sẽ có dạng: z = a + bi , trong đó a, b là các số nguyên, a được gọi là phần thực, b được gọi là phần ảo. Và i được xem là đơn vị ảo, qui ước i2 = -1

Tập hợp số phức được kí hiệu là C.

Nếu z là số thực thì phần ảo b = 0, ngược lại, nếu z là số thuần ảo thì phần thực của z là a = 0.

Xét hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i , đối với số phức, ta chỉ xét xem hai số phức có bằng nhau hay không. Điều kiện 2 số phức bằng nhau z = z’ khi và chỉ khi a = a’, b = b’ .

Chú ý:

– Số phức z=a=a+0.iz=a=a+0.i có phần ảo bằng 0 được coi là số thực và viết là a+0.i=a∈Ra+0.i=a∈R.

– Số phức có phần thực bằng 0 được gọi là số ảo (còn gọi là số thuần ảo): z=0+bi=bi(b∈R)=0+bi=bi(b∈R).

Ví dụ z=5iz=5i là số thuần ảo.

– Số 0=0+0.i0=0+0.i vừa là số thực, vừa là số ảo.

 

Bài tập:

Số phức z=5+√3i=5+3i có phần thực bằng 5, phần ảo bằng √33.

Số phức z=−4i=−4i có phần thực bằng 0, phần ảo bằng −4; đó là một số thuần ảo.

• Hai số phức z=a+bi;z′=a′+b′i (a;a′;b;b′∈R)z=a+bi;z′=a′+b′i (a;a′;b;b′∈R) gọi là bằng nhau nếu {a=a′b=b′{a=a′b=b′.

Khi đó ta viết z=z′z=z′.

 

Biểu diễn hình học của số phức là gì:

Cho số phức z = a + bi (a,b nguyên). Xét trong mặt phẳng phức Oxy, z sẽ được biểu diễn bởi điểm M(a;b) hoặc bởi vector u = (a;b). Chú ý ở mặt phẳng phức, trục Ox còn được gọi là trục thực, trục Oy gọi là trục ảo.

 

 Phép tính trong số phức:

Phép cộng hai số phức

Tổng của hai số phức z=a+bi;z′=a′+b′i (a;a′;b;b′∈R)z=a+bi;z′=a′+b′i (a;a′;b;b′∈R) là số phức z+z′=a+a′+(b+b′)iz+z′=a+a′+(b+b′)i.

 

Bài tập: 4+i+5−2i=(4+5)+(i−2i)=9−i4+i+5−2i=(4+5)+(i−2i)=9−i.

√3+i−2√3−4i=−2√3−3i3+i−23−4i=−23−3i.

Một số tính chất của phép cộng số phức

 Tính chất kết hợp: (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3),∀z1;z2;z3∈C(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3),∀z1;z2;z3∈C.

Tính chất giao hoán: z+z′=z′+z,∀z′,z∈Cz+z′=z′+z,∀z′,z∈C

Cộng với 0: z+0=0+z=z,∀z∈Cz+0=0+z=z,∀z∈C.

Với mỗi số phức z=a+bi (a;b∈R)z=a+bi (a;b∈R) nếu kí hiệu số phức −a−bi−a−bilà −z−z thì ta có:

z+(−z)=(−z)+z=0z+(−z)=(−z)+z=0

Số −z−z được gọi là số đối của số phức zz.

Phép trừ hai số phức

Hiệu của hai số phức zz và z′z′ là tổng của zz và −z′−z′, tức là z−z′=z+(−z′)z−z′=z+(−z′)

Nếu z=a+bi; z′=a′+b′iz=a+bi; z′=a′+b′i thì z−z′=a−a′+(b−b′)iz−z′=a−a′+(b−b′)i.

Bài tập: (4+5i)−(1+2i)=(4−1)+(5−2)i=3+3i(4+5i)−(1+2i)=(4−1)+(5−2)i=3+3i.

Phép nhân hai số phức

Tích của hai số phức z=a+biz=a+bi và z′=a′+b′i (a;a′;b;b′∈R)z′=a′+b′i (a;a′;b;b′∈R) là số phức:

zz′=(a+bi)(a′+b′i)=aa′+(ab′+b′a)i+bb′i2=(aa′−bb′)+(ab′+a′b)izz′=(a+bi)(a′+b′i)=aa′+(ab′+b′a)i+bb′i2=(aa′−bb′)+(ab′+a′b)i.

Biến đổi tương tự như trên ta có:

• z2=(a+bi)2=a2+2abi+(bi)2=a2−b2+2abiz2=(a+bi)2=a2+2abi+(bi)2=a2−b2+2abi
• z3=(a+bi)3=a3+3a2bi+3a(bi)2+(bi)3=a3−3ab2+(3a2b−b3)iz3=(a+bi)3=a3+3a2bi+3a(bi)2+(bi)3=a3−3ab2+(3a2b−b3)i.
• (1+i)2=2i; (1−i)2=−2i(1+i)2=2i; (1−i)2=−2i.

Một số tính chất của phép nhân hai số phức:

Tính chất giao hoán: zz′=z′z,∀z;z′∈Czz′=z′z,∀z;z′∈C.

Tính chất kết hợp: (z1z2)z3=z1(z2z3),∀z1;z2;z3∈C(z1z2)z3=z1(z2z3),∀z1;z2;z3∈C.

Nhân với 1: 1.z=z.1,∀z∈C1.z=z.1,∀z∈C.

Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng: z(z1+z2)=zz1+zz2,∀z;z1;z2∈Cz(z1+z2)=zz1+zz2,∀z;z1;z2∈C.

Số phức liên hợp

Modun của số phức

Dạng lượng giác của số phức

Các Dạng Bài tâp

Dạng 1: Tìm số phức thỏa mãn đẳng thức.

Ví dụ 1: Tìm các số thực x, y sao cho đẳng thức sau là đúng:

1. a) 5x + y + 5xi = 2y – 1 + (x-y)i
2. b) (-3x + 2y)i + (2x – 3y + 1)=(2x + 6y – 3) + (6x – 2y)i

Hướng dẫn:

1. a) Ta xem xét mỗi vế là một số phức, như vậy điều kiện để 2 số phức bằng nhau là phần thực bằng phần thực, phần ảo bằng phần ảo.

Ta có: 5x + y = 2y – 1; 5x = x – y, suy ra x = -1/7; y = 4/7

1. b) Câu này tương tự câu trên, các bạn cứ việc đồng nhất phần thực bằng phần thực, phần ảo bằng phần ảo là sẽ tìm ra được đáp án.

Dạng 2: Căn bậc hai và phương trình số phức.

Cho số phức z = a + bi, số phức w = x + yi được gọi là căn bậc hai của z nếu w2 = z, hay nói cách khác:

(x + yi)2 = a + bi

=> x2 – y2 + 2xyi = a + bi

=> x2 – y2 = a, 2xy=b(*).

Như vậy để tìm căn bậc 2 của một số phức, ta sẽ giải hệ phương trình (*) ở đã nêu ở trên.

Ví dụ: Tìm giá trị của m để phương trình sau z + mz + i = 0 có hai nghiệm z1 , z2 thỏa đẳng thức z1 2 + z2 2 = -4i.

Hướng dẫn:

Chú ý, đối với phương trình bậc 2 thì hệ thức Vi-et về nghiệm luôn được sử dụng. Như vậy ta có: z1 + z2 = -m, z1z2 = i.

Theo đề bài:

z1 2 + z2 2 = -4i

=> (z1 + z2)2 – 2z1z2 = -4i

=> m2 = -2i.

Đến đây, bài toán qui về tìm căn bậc hai cho 1 số phức. Áp dụng phần kiến thức đã nêu ở trên, ta giải hệ sau: gọi m=a+bi, suy ra ta có hệ:

a2 + b2 = 0, 2ab = -2i

=> (a,b) = (1,-1) hoặc (a,b) = (-1,1).

Vậy có hai giá trị của m thỏa mãn đề bài.

Dạng 3: Tìm tập hợp điểm thỏa mãn điều kiện cho trước trên mặt phẳng phức

Để giải dạng bài tập này, các bạn phải vận dụng một số kiến thức toán 12 hình học giải tích bao gồm phương trình đường thẳng, đường tròn, parabol…, chú ý công thức tính module của số phức, nó sẽ giúp ích rất nhiều cho các bạn khi quỹ tích liên quan đến hình tròn hoặc parabol.

– Số phức z thỏa mãn điều kiện độ dài, chú ý cách tính module:

– Nếu số phức z là số thực, a=0.

– Nếu số phức z là số thuần ảo, b=0

Ví dụ: Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn:

3. a) (2z – i)/(z – 2i) có phần thực là 3.
4. b) |z – 1 + 2i| = 3

Hướng dẫn:

1. a) Gọi M(x,y) là điểm cần tìm. Khi đó: (2z – i)/(z – 2i)= a + bi với:

 

 

Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn tâm I(0;17/2) có bán kính

1. b) M(x,y) là điểm biểu diễn của z, gọi N là điểm biểu diễn của số phức z = 1 – 2i,

suy ra N(1,-2).

Theo đề bài, |z – z2|= 3, suy ra MN=3

Vậy tập hợp các điểm M thỏa mãn đề là đường tròn tâm N(1;-2) bán kính R=3.

 

Lời Kết

Trên đây là tổng hợp lý thuyết toán 12 về chương số phức. Thanh Phương Book hy vọng rằng qua bài đọc các bạn sẽ phần nào củng cố và rèn luyện chắc chắn hơn kiến thức của bản thân mình. Số phức là một khái niệm khá mới lạ, vì vậy đòi hỏi bạn phải hiểu thật rõ nhưng khái niệm cơ bản thì mới có khả năng giải quyết dạng toán này tốt được. Cùng đọc thêm các bài viết khác của Thanh phương Book để có thêm nhiều bài học bổ ích nhé. Nếu cần tư vấn thêm nội dung gì về toán học hoặc có nhu cầu mua sách Toán.Hãy liên hệ ngay với Thanh Phương Book qua hotline 0908 650 779 để được tư vấn và hỗ trợ tận tình. Hoặc bạn có thể ghé thăm trực tiếp cửa hàng của Thanh Phương Book tại địa chỉ số 15 Trần Văn Xã, Trảng Dài, Thành phố Biên Hòa, Đồng Nai.